Конструирование PH-кривой пространства по ортогональным проекциям её годографа
DOI:
https://doi.org/10.25206/1813-8225-2025-196-5-11Ключевые слова:
PH-кривые, Пифагоровы годографы, полиномы, ортогональная проекция, составная кривая, гладкость стыковки.Аннотация
В современном геометрическом моделировании известен класс плоских и пространственных PH-кривых (кривых пифагорова годографа), получивших теоретическое обоснование математиком Rida T. Farouki в 2007 г. PH-кривые обладают уникальным свойством, имеющим важное значение в решении множества разноплановых практических задач, а именно «параметрическая скорость» этих кривых, т. е. производная от длины дуги по параметру кривой является полиномиальной (или рациональной) функцией параметра. Данное свойство обусловлено тем, что координатные компоненты годографа PH-кривой представляют собой элементы пифагорова (n+1)-кортежа координатных полиномов.
Благодаря отмеченному свойству PH-кривые востребованы в решениях различных практических задач: генерация траекторий беспилотных летательных аппаратов, оптимизация пути мобильных роботов, расчёт оптимальных по форме и по длине сегментов оси автомобильной дороги и др. В теории пространственных PH-кривых разработаны алгоритмы их аналитического конструирования. В указанном исследовании предложен подход к конструированию этих кривых, основанный на теории плоских PH-кривых и реализуемый последовательным конструированием образов — проекций пространственных PH-кривых на двух координатных плоскостях. Решение пространственной задачи конструирования сводится к решениям двух задач последовательного конструирования на координатных плоскостях.
Приведены числовые примеры, демонстрирующие работоспособность предлагаемого подхода. При этом алгоритмы вычислений более просты, чем в случае известного пространственного аналитического подхода. В направлении развития предложенного подхода приведены числовые примеры конструирования пространственной составной PH-кривой по гладкости C1.
Скачивания
Библиографические ссылки
(1). Farouki R. T. Pythagorean-hodograph curves: Algebra and geometry inseparable. Germany: Springer, 2008. 729 p. DOI: 10.1007/978-3-540-73398-0. ISBN 978-3-540-73397-3.
(2). Farouki R. T., Sakkalis T. Pythagorean-hodograph space curves. Advances in Computational Mathematics. 1994. No. 2. P. 41–66. DOI: 10.1007/BF02519035.
(3). Pottmann H. Curve design with rational Pythagorean-hodograph curves. Advances in Computational Mathematics. 1995. No. 3. P. 147–170. DOI: 10.1007/BF03028365.
(4). Farouki R. T. Arc lengths of rational Pythagorean-hodograph curves. Computer Aided Geometric Design. 2015. No. 34. P. 1–4. DOI: 10.1016/j.cagd.2015.03.007.
(5). Farouki R. T. The elastic bending energy of Pythagorean-hodograph curves. Computer Aided Geometric Design. 1996. No. 13. P. 227–241. DOI: 10.1016/0167-8396(95)00024-0.
(6). Винокурский Д. Л., Ганьшин К. Ю., Мезенцева О. С. [и др.]. Планирование траектории группы беспилотных летательных аппаратов с использованием годографа Пифагора и составных кривых Бернштейна-Безье на плоскости // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2020. Т. 31, № 2. С. 70–78. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-31-2-70-78. EDN: DWGUPX.
Vinokurskiy D. L., Gan’shin K. Yu., Mezentseva O. S. [et al.]. Planirovaniye trayektorii gruppy bespilotnykh letatel’nykh apparatov s ispol’zovaniyem godografa Pifagora i sostavnykh krivykh Bernshteyna-Bez’ye na ploskosti [The planning of the trajectory of UAV group with the performance of pythagorean hodograph and Bernstein-Bezier composite curves in the plane]. Vestnik KRAUNTs. Fiziko-matematicheskiye nauki. Bulletin KRASEC. Physical and Mathematical Sciences. Vol. 31, no. 2. P. 70–78. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-31-2-70-78. EDN: DWGUPX. (In Russ.).
(7). Farouki R. T. Pythagorean-hodograph curves in practical use. Geometry Processing for Design and Manufacturing. Society for Industrial and Applied Mathematics. 1992. P. 3–33.
(8). Shah M. A., Aouf N. 3D cooperative Pythagorean hodograph path planning and obstacle avoidance for multiple UAVs. IEEE 9th International Conference on Cybernetic Intelligent Systems, CIS. 2010. P. 1–6. DOI: 10.1109/UKRICIS.2010.5898124.
(9). Vinokursky D. L., Mezentseva O. S., Samoylov Ph. V. [et al.]. Model predictive control for path planning of UAV group. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering: III International Scientific Conference. Krasnoyarsk: IOP Publishing Ltd. 2021. DOI: 10.1088/1757-899X/1155/1/012092.
(10). Ганьшин К. Ю., Винокурский Д. Л., Мезенцева О. С. [и др.]. Разработка метода оптимизации траектории облета среды с препятствиями на основе кривых Безье с годографом Пифагора // Инженерный вестник Дона. 2023. № 7(103). С. 156–165. EDN: KRTRRN.
Gan’shin K. Yu., Vinokurskiy D. L., Mezentseva O. S. [et al.]. Razrabotka metoda optimizatsii trayektorii obleta sredy s prepyatstviyami na osnove krivykh Bez’ye s godografom Pifagora [Development of a method for optimizing the trajectory of a obstacle-free environment based on Bezier curves with a Pythagorean hodograph]. Inzhenernyy vestnik Dona. Engineering Journal of Don. 2023. No. 7(103). P. 156–165. EDN: KRTRRN. (In Russ.).
(11). Винокурский Д. Л., Ганьшин К. Ю., Мезенцева О. С. [и др.]. Генерация траекторий оптимальных кривых беспилотного летательного аппарата для обхода статического препятствия // Инженерный вестник Дона. 2021. № 9(81). С. 169–181. EDN: LPFIMQ.
Vinokurskiy D. L., Gan’shin K. Yu., Mezentseva O. S. [et al.]. Generatsiya trayektoriy optimal’nykh krivykh bespilotnogo letatel’nogo apparata dlya obkhoda staticheskogo prepyatstviya [Generating trajectories of optimal curves of an unmanned aerial vehicle to bypass a static obstacle]. Inzhenernyy vestnik Dona. Engineering Journal of Don. 2021. No. 9(81). P. 169–181. EDN: LPFIMQ. (In Russ.).
(12). Bezawada H., Woods C., Vikas V. Shape estimation of soft manipulators using piecewise continuous Pythagorean-hodograph curves. American Control Conference (ACC). 2022. P. 2905–2910. DOI: 10.23919/ACC53348.2022.9867270.
(13). Bruyninckx H., Reynaerts D. Path planning for mobile and hyper-redundant robots using Pythagorean-hodograph curves. Advanced Robotics: 8th International Conference. 1997. P. 595–600. DOI: 10.1109/ICAR.1997.620243.
(14). Farouki R. T., Knez M., Vitrih V. [et al.]. Planar projections of spatial Pythagorean-hodograph curves. Computer Aided Geometric Design. 2021. Vol. 91. P. 102049. DOI: 10.1016/j.cagd.2021.102049.
(15). Panchuk K. L., Myasoedova T. M., Rogoza Y. A. Spatial spline construction through the Monge model. CEUR Workshop Proceedings. 2020. Vol. 2744. P. 60-1–60-11. DOI: 10.51130/graphicon-2020-2-3-60.
(16). Корчагин Д. С., Панчук К. Л. Программа «Вычисление кривизны и кручения пространственной кривой линии по ее ортогональным проекциям» // Хроники объединённого фонда электронных ресурсов «Наука и образование». 2014. Т. 1, № 2 (57). С. 60. EDN: SXMEQB.
Korchagin D. S., Panchuk K. L. Programma “Vychisleniye krivizny i krucheniya prostranstvennoy krivoy linii po eye ortogonal’nym proyektsiyam” [The program “Calculating the curvature and torsion of the dimensional curve based on its orthogonal projections”]. Khroniki ob”yedinennogo fonda elektronnykh resursov “Nauka i obrazovaniye”. 2014. Vol. 1, no. 2 (57). P. 60. EDN: SXMEQB. (In Russ.).
Опубликован
Как цитировать
Выпуск
Раздел
Лицензия
Неисключительные права на статью передаются журналу в полном соответствии с Лицензией Creative Commons BY-NC-SA 4.0 «Attribution-NonCommercial-ShareAlike» («Атрибуция-Некоммерчески-СохранениеУсловий») 4.0 Всемирная (CC BY-NC-SA 4.0)
